2017年らしい数学の問題!『ある数字の中で2017で割り切れることを証明せよ』

   

7: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 15:54:24.662 ID:ohf4Z7Vyd

22187

10: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 15:55:11.265 ID:7U5jhkzY0

1だけでできてる数字ってことな

11: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 15:55:57.824 ID:er9IDww3d

1のみでできた数字xに2017を掛けた数字は必ず2017で割りきれる

おわり

14: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 15:56:57.304 ID:7U5jhkzY0

>>11
もしかしてそれが間違ってないと思ってる?

13: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 15:56:53.232 ID:er9IDww3d

ちがうな

16: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 15:57:56.563 ID:kwTXaF5fa

1111…が2017の倍数であると証明するだけだろ
2017を素因数分解するだけのかんたんな問題だよ

17: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 15:58:42.017 ID:7U5jhkzY0

>>16
不正解

18: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 15:59:06.646 ID:nJwZe/XC0

1をn個並べてできるn桁の自然数をf(n)と表すことにする
鳩ノ巣原理によりf(1),f(2),…,f(2018)の中に2017で割った余りが一致する2数が存在する
その2数をf(k),f(l)とする(ただしk<l)
このときf(l)-f(k)は2017の倍数である
f(l)-f(k)=f(l-k)×10^kであり、2017と10^kは互いに素であるからf(l-k)は2017の倍数である
おわり

69: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:22:54.007 ID:yeomV2aT0

>>18
ほーすげー
頭いいなお前

28: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:01:19.223 ID:7U5jhkzY0

>>18 が正解。結構早かったな

50: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:12:13.615 ID:wfUCwCam0

>>18の意味がわからんもんで>>1が中学生にも解るように解説してくれ

60: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:17:01.389 ID:7U5jhkzY0

>>50
ある程度頭がいい中学生ならりかいできるんだよなぁ...
まあわかりやすくいうと

61: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:17:39.762 ID:7U5jhkzY0

>>50
2017で割ったあまりが等しい2数を引けばあまりが消えて2017の倍数になる。その数はどちらも1だけでできた数だから引き算すれば11111100000みたいな数字になるじゃん、てことは1だけでできた数と10のn乗のせきになる。

63: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:18:01.445 ID:7U5jhkzY0

>>50
でも、10のn乗は2017のばいすうじゃないから、もう一方の1だけでできた数が2017の倍数ってことになる。

19: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 15:59:11.830 ID:ohf4Z7Vyd

出たけど1多過ぎて数えるの面倒

23: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 15:59:50.854 ID:Ls5jt9KrM

2017✕3
2017✕13
2017✕23
……

これを計算していけばいずれ答えは分かるって寸法さ

26: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:00:50.462 ID:DbzmKDzc0NEWYEAR

>>23
とりあえずどこまで計算した?

29: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:01:25.386 ID:Ls5jt9KrM

>>26
一個も計算してない

39: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:07:23.978 ID:f4BBuJ/xp

中学生にでもできる証明方法は>>23だろ

24: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:00:19.622 ID:bHhfb7Wb0NEWYEAR

下の桁から揃えていけばいいのか?
2017×3=6051
2017×83=167411
2017×183=369111
2017×6183=12471111

34: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:04:14.031 ID:TvUUDObV0

中学生にとけるの?

36: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:05:49.821 ID:7U5jhkzY0

>>34
>>18 は綺麗に表記してるけど言ってることは中学生でも考えられる話だよ

41: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:07:47.573 ID:3hWk84X2M

>>36
言ってることはわかっても解けるとなると話は別だろ
灘中生とか数オリ選手とか言いだすなよ?

46: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:09:40.872 ID:7U5jhkzY0

>>41
中学生が知らない概念を使ってないんだから
中学生でもとけるって言って間違ってはないだろw

52: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:13:32.139 ID:yectNWYs0

>>46
鳩ノ巣原理なんて中学で習わんけど

57: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:15:49.738 ID:nJwZe/XC0

>>52
鳩ノ巣原理は直感的に自明だし賢い中学生なら習ってなくても使える奴は使えるだろう
それよりフェルマーの小定理使ってどう証明するんだ
さっきから考えてるんだけど

64: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:18:59.807 ID:yectNWYs0

>>57
中学で習った範囲外のものはその論理を分かりやすく説明した正解を書かないとお話にならない
中学生でも解けるといったことの責任をとってくれるんだろ?
自分の言葉に責任持とうぜ
まさか正月早々嘘つくわけないもんな

67: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:21:15.281 ID:7U5jhkzY0

>>64
あのさぁ...鳩ノ巣原理という名前は知らなかったとしても考えつく話ではあるよねw4匹の鳩が3つの巣にはいるとき、2匹以上入ってる巣が少なくとも1つはあることをおまえは中学生のときわからなかったの?w

74: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:23:53.785 ID:yectNWYs0

>>67
中学生でも解けると言ったんだから
中学の授業で習う範囲しかしらない前提で回答しないと意味ないぞ

さっさと回答を書け

88: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:30:11.254 ID:7U5jhkzY0

>>74
おれがさっき書いた回答をもう少しきちんと書けば鳩ノ巣原理という言葉は使ってないからそれでいいか?だめならどこがだめか指摘してくれ。10のn乗というとこに不満があるならなんとでも言い換えるよ

86: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:29:05.663 ID:nJwZe/XC0

>>74
鳩ノ巣原理という言葉が気に入らないならはいこれどうぞ

1をn個並べてできるn桁の自然数をf(n)と表すことにする
自然数を2017で割った余りは0,1,…,2016のどれかなのでf(1),f(2),…,f(2018)の中に2017で割った余りが一致する2数が存在する
その2数をf(k),f(l)とする(ただしk<l)
このときf(l)-f(k)は2017の倍数である
f(l)-f(k)=f(l-k)×10^kであり、2017と10^kは互いに素であるからf(l-k)は2017の倍数である

これなら中学生でも分かると思う

101: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:34:27.182 ID:Ls5jt9KrM

>>86
1をn個並べてできるn桁の自然数をf(n)と表すことにする
自然数を2017で割った余りは0,1,…,2016のどれかなのでf(1),f(2),…,f(2018)の中に2017で割った余りが一致する2数が存在する
その2数をf(k),f(l)とする(ただしk
このときf(l)-f(k)は2017の倍数である ←ここまでは分かった

f(l)-f(k)=f(l-k)×10^kであり、2017と10^kは互いに素であるからf(l-k)は2017の倍数である k←ここが分からん

中学生語で説明してくれ

127: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:47:20.426 ID:0nLQKwJDa

>>101
分からんならまず分かりやすい数字で考えたらいいじゃん
・f(5) - f(3) = 11111 - 111 = 11000 = 11 × 1000 = f(5-3) × 10の3乗

・10^nは2017の倍数では絶対にないから
f(l-k) × 10^k = 2017 × ? × 10^k

37: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:06:48.725 ID:vKPkGv/G0

鳩ノ巣原理が分からん

44: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:08:37.400 ID:7U5jhkzY0

>>37
4匹の鳩を3つの巣にいれるとき、少なくとも1つは2匹以上が入ってる巣がかならずあるって原理

38: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:07:23.441 ID:kp0Jq+gv0

数学的帰納法しか知らない

42: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:08:23.004 ID:00sLMpEqa

10進法的な分解の仕方で
Σ1*10^k
これを2017で割りきることを考えようとしたけど鳩ノ巣原理はうまいな~

53: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:14:10.344 ID:00sLMpEqa

余りは循環していくことを知らないと思い付かない解法ではあるとおもう

54: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:14:18.704 ID:3hWk84X2M

ちな中学ってのがよほど数学に力入れてる学校ってことはわかった

62: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:17:51.281 ID:Jdmm8pvH0

中学生でも解ける奴はいなくはない

73: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:23:52.989 ID:Ls5jt9KrM

鳩ノ巣理論が中学生でも理解出来る事と問題が中学生でも解ける事とは別だよね

75: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:24:24.531 ID:qHKoOtQ20

f(n)=1/9(10^n-1)
割り切れると仮定
n=2016でフェルマーの小定理から
10^2016≡1(mod2017)となりわりきれる?

87: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:29:47.998 ID:Ym1AmpPV0

>>75
これしゅごい

95: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:33:04.107 ID:nJwZe/XC0

>>75
なるほどすげぇ
感動した
この方が数学っぽい

94: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:32:57.888 ID:7U5jhkzY0

>>75
うん。もう少し続きがほしいな。その合同式の両辺マイナス1して9999...999=9x1111...111が2017で割り切れる。9と2017は互いに素より、1111...111が2017で割り切れることが示された。ちなみにこう解くことで答えのかずは1が2016個並んだ数であることがわかる

113: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:41:48.445 ID:yeomV2aT0

>>94
そんな続きいらなくね?

以下mod2017とする
f(2016)=1/9(10^2016-1)≡1/9(1-1)≡0
なのでf(2016)は2017で割り切れる

119: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:45:02.026 ID:7U5jhkzY0

>>113
すまん最初に一般項書いてたの見てなかったわ。それかいてたら大丈夫だな

82: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:27:04.169 ID:s/+6lQsM0

証明出来たんだからそのやり方で2017で割り切れる1が何個必要なのかもついでに教えてくだしゃい

98: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:33:30.028 ID:7U5jhkzY0

>>82
2016個だよ

103: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:34:52.447 ID:2CgH1weF0

このときf(l)-f(k)は2017の倍数である

ここがわからないです

105: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:38:01.618 ID:Ls5jt9KrM

>>103
ここは分かる
例えばf(k)が2017*x+aでf(l)が2017*y+aだとしたら引いたら2017*(x-y)って事になるからな

107: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:38:31.399 ID:7U5jhkzY0

>>103
あまりが等しい数を引けばあまりは0になるよ。落ち着いて考えたらたしかにそうだなって思えると思う。
正直中学生は解けないだろっていう主張において1番指摘すべきはここなんだよ。正直ここは中学生だと厳しいかなっておもった。

124: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:45:40.464 ID:Ls5jt9KrM

ああ、待って分かった
つまりこうだ

たとえば11111111111(1が11個)と11111(1が5個)を2017で割ると余りが同じになるとしよう
余りが同じになるって事はそれ同士を引いたら余り分が相殺されて差は2017で割り切れるって事だ
つまり11111100000は2017で割り切れるって事だな
で、11111100000は111111✕100000だ
100000の方は2017で割り切れないから
111111の方が2017で割り切れるって事だ

中学生相手ならこれくらい噛み砕いてくれよ

129: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:49:11.624 ID:nJwZe/XC0

>>124
うん、最後の行はそういう意味
簡潔さ重視で書いた
別に中学生相手にしてたわけではないし

96: 以下、\(^o^)/でVIPがお送りします 2017/01/02(月) 16:33:15.237

鳩ノ巣原理か 煽り抜きで勉強になったわ

確かに考え方や原理としては中学生どころか小学生にも説明ができるな

 - まとめ